Уравнение xʸ = yˣ

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство $x^{y}=y^{x}$ выполняется для некоторых пар $(x,y),$ например, $x=2,y=4.$

История

Уравнение $x^{y}=y^{x}$ упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728). В письме говорится, что при $x\neq y$ пара $(2,4)$ — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729) содержится общее решение уравнения, полученное заменой $y=vx.$ Аналогичное решение дано Эйлером. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если $r,n$ — положительные целые, $r\geqslant 3$ или $n\geqslant 3,$ то $r^{r+n}>(r+n)^{r},$ таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи $x=1$ и $x=2.$

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема, что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля.

Решения в действительных числах

Основной источник:

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения $x=y.$ Нетривиальные решения можно найти, положив $x\neq y,$ $y=vx.$ Тогда

$(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.$

Возведение обеих сторон в степень ${\tfrac {1}{x}}$ с последующим делением на $x$ даёт

$v=x^{v-1}.$

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

$x=v^{\frac {1}{v-1}},$

$y=v^{\frac {v}{v-1}}.$

Нетривиальное решение в натуральных числах $4^{2}=2^{4}$ можно получить, положив $v=2$ или $v={\tfrac {1}{2}}.$

Решение в терминах W-функции Ламберта

Решение уравнения $y^{x}=x^{y}$ возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта $W(x)$ от переменной $x$:

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$, сделаем замену $x={\frac {1}{z}}$:

$y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}$

Теперь переменную $z$ можно выразить через W-функцию Ламберта: $z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

Окончательно решение будет выглядеть так: $x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$ или $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$ уравнение буде иметь два корня $x_{1},x_{2}$.

Какой из параметров ($y$ или $x$), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной $x$(или $y$) верно неравенство $y$(или $x$)<$e^{\frac {1}{e}}$, то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах супер корня второй степени

Уравнение $y^{x}=x^{y}$ является частным случаем уравнения $y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$ при $b=1$ и $n=y$. Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}$

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений $y^{x}=x^{y}$ и $y^{x}=(-x)^{y}$ при чётном $y$, однако, на практике, существует только максимум два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени $f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$ есть обратная к вышеописанной функции $f(z)=z^{z}$ (иначе $f(z)={}^{2}z$), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может.

Из данного решения вытекает тождественное равенство: $-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$. Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$, далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$. Доказанное тождество является частным от более общего случая при $b=-y$.

Ссылки

• Rational Solutions to x^y = y^x  (неопр.). CTK Wiki Math.
• x^y = y^x - commuting powers  (неопр.). Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Архивировано 28 декабря 2015 года.
• dborkovitz. Parametric Graph of x^y=y^x  (неопр.). GeoGebra (29 января 2012).
• Последовательность A073084 в OEIS: Десятичное разложение -x, где x — отрицательное решение уравнения 2^x = x^2